Trois axes, une idée par matin. Chaque carte a son script pour lancer l'activité, et en cliquant dessus, trois exercices tout prêts avec leur solution dépliable, à garder pour vous pendant qu'il cherche.
Vous vous lancez des calculs à tour de rôle, à l'oral, chrono en main. Celui qui répond juste le plus vite marque un point.
« Aziz, duel de calcul, top chrono, c'est parti ? »
Chrono de 30 secondes, trois ou quatre calculs, on note les points sur un coin de serviette.
Ça prend : complexifier légèrement. Ça bloque : ralentir et le laisser reprendre l'avantage.
Calcule : (−8) × (−5)
40. Deux nombres négatifs multipliés donnent un résultat positif.
Calcule : (−36) ÷ 4
−9. Un négatif divisé par un positif donne un résultat négatif.
Calcule : 3² × (−2)³
−72. En effet 3² = 9 et (−2)³ = −8, donc 9 × (−8) = −72.
Vous donnez un résultat et Aziz doit trouver le plus vite possible une opération qui y mène. Plusieurs réponses sont possibles.
« Je te donne un résultat, tu me trouves l'opération, plus vite que moi. »
Annoncer un nombre relatif, chacun propose à tour de rôle une opération différente qui y mène.
Trop facile : imposer une contrainte, uniquement des puissances ou deux relatifs négatifs.
Trouve une opération avec deux relatifs dont le produit vaut −18.
Par exemple (−3) × 6 = −18. Toute paire dont le produit fait −18 est valable.
Trouve une puissance dont le résultat vaut 64.
Par exemple 2⁶ = 64. On accepte aussi 4³ = 64 ou 8² = 64.
Trouve une division de deux relatifs dont le quotient vaut −7.
Par exemple (−35) ÷ 5 = −7. Toute paire au quotient −7 convient.
Vous proposez un calcul volontairement mal posé ou piégé, et Aziz doit repérer ce qui cloche avant même de calculer.
« Regarde ce calcul, il y a un piège dedans, tu le vois ? »
Écrire ou dire un calcul avec une erreur de priorité opératoire ou de signe.
Une fois trouvé, lui demander d'inventer un piège à son tour, pour vous.
Est-ce correct ? « 3 + 4 × 2 = 14 »
Faux. La multiplication passe avant l'addition : 4 × 2 = 8, puis 3 + 8 = 11. Le résultat correct est 11.
Est-ce correct ? « (−5)² = −25 »
Faux. (−5)² = (−5) × (−5) = 25, un résultat positif. −25 correspondrait à −(5²).
Est-ce correct ? « 10 − 3 − 2 = 9 »
Faux. On calcule de gauche à droite : 10 − 3 = 7, puis 7 − 2 = 5. Le résultat correct est 5.
Vous inventez un score fictif autour de la commande et vous calculez ensemble le score final avec des relatifs.
« On invente un jeu, chaque commande vaut des points. »
Barème fictif, café égale plus trois, retard égale moins deux, on calcule le score final.
Ajouter une règle bonus ou malus en cours de route pour complexifier.
Un café vaut +3 points, un retard vaut −2 points. Aziz a commandé 4 cafés et eu 3 retards. Quel est son score ?
6 points. En effet 4 × 3 = 12 et 3 × (−2) = −6, donc 12 − 6 = 6.
Le score de départ est −5. Il gagne 3 bonus de +4 chacun. Quel est le score final ?
7. En effet −5 + (3 × 4) = −5 + 12 = 7.
Il perd 2 points, 5 fois de suite, puis gagne 15 points d'un coup. Score final en partant de 0 ?
5 points. En effet (5 × (−2)) + 15 = −10 + 15 = 5.
Le classique du nombre pensé. Une fois qu'il est épaté, vous lui proposez de comprendre le truc.
« Pense à un nombre, je vais deviner lequel. »
Double-le, ajoute 6, divise par 2, retire ton nombre de départ. Il annonce le résultat, vous devinez.
« Tu veux savoir comment je fais ? » Écrire l'expression avec x au dos d'un ticket.
Écris et simplifie l'expression du tour : on double x, on ajoute 6, on divise par 2, on retire x.
(2x + 6) ÷ 2 − x = (x + 3) − x = 3. Le résultat est toujours 3, quel que soit le nombre choisi.
Vérifie le tour avec x = 7.
Double : 14, plus 6 : 20, divisé par 2 : 10, moins 7 : 3. On retrouve bien 3.
Développe et réduis : 2(x + 3) − x
2x + 6 − x = x + 6.
Une fois le mécanisme compris, il invente son propre tour pour le refaire à sa mère ou à un copain.
« Maintenant à toi d'inventer un tour, pour le faire à maman. »
Il choisit les opérations, vous vérifiez ensemble avec x que ça marche à tous les coups.
Tester le tour sur deux ou trois nombres différents pour prouver que ça fonctionne toujours.
Vérifie si ce tour donne toujours 5 : triple le nombre, ajoute 15, divise par 3, retire le nombre de départ.
(3x + 15) ÷ 3 − x = (x + 5) − x = 5. Oui, ça donne toujours 5.
Modifie ce tour pour qu'il donne toujours 10 au lieu de 5.
Il suffit de remplacer 15 par 30 : (3x + 30) ÷ 3 − x = (x + 10) − x = 10. D'autres réglages fonctionnent aussi.
Vérifie le tour modifié avec x = 4.
Triple : 12, plus 30 : 42, divisé par 3 : 14, moins 4 : 10. Ça confirme le résultat.
Cette fois, c'est vous qui donnez le résultat final d'une suite d'opérations, et lui qui doit retrouver le nombre de départ.
« Je pense à un nombre, voilà le résultat final, retrouve mon nombre de départ. »
Annoncer la suite d'opérations et le résultat, il pose l'équation et la résout.
Complexifier avec une étape de plus ou un résultat non entier.
Je multiplie mon nombre par 3, j'ajoute 4, j'obtiens 19. Quel est mon nombre de départ ?
x = 5. En effet 3x + 4 = 19, donc 3x = 15, donc x = 5.
Je retire 7 à mon nombre, je multiplie le résultat par 2, j'obtiens 10. Quel est mon nombre ?
x = 12. En effet 2(x − 7) = 10, donc x − 7 = 5, donc x = 12.
Je double mon nombre, j'ajoute 3, je retire 5, j'obtiens 12. Quel est mon nombre ?
x = 7. En effet 2x + 3 − 5 = 12, donc 2x − 2 = 12, donc 2x = 14, donc x = 7.
Une situation concrète du café amène naturellement à poser une inconnue et une équation.
« J'ai payé huit dinars pour ça, devine combien coûte chaque chose. »
Donner une relation entre deux prix, il pose l'inconnue et résout.
Changer les chiffres ou le nombre d'objets pour une deuxième manche.
Un café et un croissant coûtent ensemble 8 dinars. Le croissant coûte 2 dinars de moins que le café. Prix de chaque chose ?
Café = 5 dinars, croissant = 3 dinars. En posant x le prix du café : x + (x − 2) = 8, donc 2x = 10, donc x = 5.
Deux jus d'orange coûtent ensemble 14 dinars. Prix d'un jus ?
7 dinars. En effet 2x = 14, donc x = 7.
Trois boissons identiques et un gâteau à 4 dinars coûtent en tout 19 dinars. Prix d'une boisson ?
5 dinars. En effet 3x + 4 = 19, donc 3x = 15, donc x = 5.
Aziz vérifie si un coin de table est vraiment droit, sans rapporteur, juste avec une règle et du calcul.
« Tu crois que ce coin de table est vraiment droit ? Prouve-le. »
Mesurer les côtés avec ce qu'on a sous la main, vérifier avec le théorème de Pythagore.
Chercher un autre angle du café à vérifier, pour comparer.
Une table a des côtés de 3 m et 4 m, et une diagonale de 5 m. L'angle est-il droit ?
Oui. En effet 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². La réciproque de Pythagore confirme l'angle droit.
Un cadre a des côtés de 6 cm et 8 cm, et une diagonale mesurée à 11 cm. L'angle est-il droit ?
Non. Car 6² + 8² = 100, ce qui correspond à une diagonale de 10 cm, pas 11 cm.
Un triangle a des côtés 5 cm, 12 cm et 13 cm. Est-ce un triangle rectangle ?
Oui. En effet 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13².
Une distance qu'il ne peut pas mesurer directement, à approcher avec ce qu'on a sous la main.
« Comment tu ferais pour connaître la hauteur de ce lampadaire sans y grimper ? »
Réfléchir ensemble à une méthode, mesurer ce qui est mesurable, calculer le reste.
Comparer son estimation à une vérification rapide, pour voir s'il avait raison.
Un bâton de 1 m projette une ombre de 1,5 m. Au même moment, un lampadaire projette une ombre de 6 m. Quelle est sa hauteur ?
4 m. Le rapport ombre sur hauteur est le même pour les deux : 6 ÷ 1,5 = 4, donc la hauteur du lampadaire vaut 4 fois celle du bâton.
Deux points d'un parc sont espacés de 30 m vers l'est et 40 m vers le nord. Quelle est la distance à vol d'oiseau ?
50 m. En effet racine de (30² + 40²) = racine de 2500 = 50.
Une échelle de 5 m est posée contre un mur, son pied est à 3 m du mur. À quelle hauteur touche-t-elle le mur ?
4 m. En effet racine de (5² − 3²) = racine de 16 = 4.
Une figure qui semble être un triangle rectangle mais ne l'est pas vraiment. À lui de le prouver ou de le réfuter.
« Regarde ce triangle, il a l'air rectangle, tu paries ? »
Dessiner rapidement une figure trompeuse sur une serviette, donner les longueurs, il vérifie par le calcul.
Lui demander de dessiner un piège à son tour, pour vous.
Un triangle a des côtés 7 cm, 9 cm et 12 cm. Est-il rectangle ?
Non. Car 7² + 9² = 130, différent de 12² = 144. Il a l'air rectangle mais ne l'est pas.
Un triangle a des côtés 9 cm, 12 cm et 15 cm. Est-il rectangle ?
Oui. Car 9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15².
Un triangle a des côtés 6 cm, 7 cm et 9 cm. Est-il rectangle ?
Non. Car 6² + 7² = 85, différent de 9² = 81. Presque rectangle, mais pas tout à fait.
Calculer la distance à vol d'oiseau entre deux endroits qu'il connaît, et la comparer au trajet réel.
« Ouvre la carte, on calcule la vraie distance entre chez nous et là où tu veux. »
Repérer deux points, calculer la distance à vol d'oiseau, comparer au trajet réel affiché.
Refaire avec un autre trajet, choisi cette fois par lui.
La maison est à 4 km à l'est de l'école, le café à 3 km au nord de l'école. Distance maison-café à vol d'oiseau ?
5 km. En effet racine de (4² + 3²) = racine de 25 = 5.
Deux amis partent du même point, l'un marche 8 km vers le sud, l'autre 6 km vers l'ouest. Distance qui les sépare ?
10 km. En effet racine de (8² + 6²) = racine de 100 = 10.
Un parc rectangulaire mesure 12 m sur 5 m. Longueur de sa diagonale ?
13 m. En effet racine de (12² + 5²) = racine de 169 = 13.
Le téléphone reste dans la poche, sauf pour le chrono ou une carte. Ça se dit dès le premier jour, sur le ton de la règle du jeu, pas de l'interdiction.
Une séance qui ne prend pas s'arrête là, sans insister. Mieux vaut couper court que forcer jusqu'à la fin de l'heure.
Le mot maths, exercice ou programme n'a pas besoin d'être prononcé. « On teste un truc » suffit largement.